Усі, мабуть, чули, що модель BS непридатна для ціноутворення крипто-опціонів, але наскільки точно вона непридатна, можливо, бракує кількісного розуміння. Kończal у статті, опублікованій у 2025 році «Ціноутворення опціонів на основі крипто-ф'ючерсних контрактів», використав дані опціонів на BTC/ETH ф'ючерси CME та порівняв 6 моделей ціноутворення, з помилка моделі BS в 3,5–5,5 рази більша за найоптимальнішу модель.

Основні висновки статті:

- Для крипто-опціонів моделі, що обробляють стрибки, безумовно переважають ті, що їх не обробляють. Раптові стрибки цін є ключовою характеристикою крипто-ринку, тому захоплення раптових стрибків цін важливіше, ніж точне моделювання безперервних змін волатильності.

- Помилка моделі BS значно перевищує помилки інших моделей, її практично неможливо використовувати для реального ціноутворення(особливо для далеких опціонів)причина полягає в тому, що неявна волатильність крипто-опціонів становить приблизно 4–6 разів волатильність S&P 500, а розподіл прибутковості характеризується товстими хвостами та перекосом, що повністю відхиляється від нормального припущення BS.

Рекомендації щодо вибору моделі:

- Для порівняння різних криптовалют виберіть модель стрибкової дифузії Мертона (4 параметри, обидві криптовалюти входять до лідерів)

- Оптимізація за окремими криптовалютами: для BTC використовуйте Kou, для ETH використовуйте Bates (MAPE лише 1,9%, найкращий результат)

Стаття вимірює різницю між моделлю ціноутворення та ринковою ціною, використовуючи три показники:

- MAE (середня абсолютна помилка) найбільш інтуїтивна, абсолютне значення береться для кожної опції, потім розраховується середнє. MAE Kou на BTC становить 258, що означає, що в середньому кожна опція відхилялася на $258.

- RMSE (середньоквадратична помилка) спочатку піднімається в квадрат, потім витягується корінь, тому великі помилки збільшуються. Якщо модель відхиляється на $10 у 99 опціях, але на $5000 в 1 опції, MAE може виглядати майже однаковою, а RMSE буде зашкалювати. Вона відображає, наскільки поганим може бути найгірший випадок.

- MAPE (середня абсолютна відсоткова помилка) — це відхилення, поділене на ринкову ціну та перетворене у відсотки. Таким чином нівелюється вплив цінових рівнів, що дозволяє горизонтально порівнювати розбіжності котирувань між різними криптовалютами (наприклад, BTC та ETH).

Інші цікаві висновки:

- BTC та ETH мають різні характеристики цінових стрибків: калібрування MJD показує, що частота цінових стрибків ETH приблизно вдвічі більша, ніж у BTC, що може пояснити, чому ETH потребує більш складної моделі Bates (потрібно одночасно обробляти високочастотні стрибки та стохастичну волатильність), а BTC цілком достатньо відносно простої моделі Kou.

- BTC та ETH мають зовсім різну терміну структуру: параметр ν моделі VG показує, що BTC монотонно зростає до дати закінчення, ринок вважає, що чим далі вперед, тим вже малоймовірніші екстремальні події. Екстремальні коливання ETH зосереджені в середньостроку, а довгостроково вони прагнуть до стабільності.

Недоліки статті:

- Всі висновки засновані на даних однієї дати — 11 березня 2024 року (того дня BTC перепився попередній максимум циклу, це була екстремальна ситуація на ринку)

- Не обговорюється стабільність калібрування, наприклад, чи можна використовувати параметри від 11 березня для прогнозування цін 12 березня

- Дані походять з CME, водночас CME та Deribit мають різну ліквідність, структури учасників, механізми маржування, тому рейтинг моделей на Deribit може бути іншим.

- Не розраховані порівняння витрат: реальна торгівля чутлива до затримок. BS має аналітичне рішення, яке виводиться за секунди, Bates потребує чисельного інтегрування, стаття абсолютно не згадує час розрахунків, але це може бути визначальним фактором для високочастотних сценаріїв