【理論分析】転換社債はいつ転換されるのか？

本文では、合理的な市場参加者がいつ転換社債型新株予約権付社債（以下「可転換社債」）を転換することを選ぶのかを論じる。
最も粗い見方は、可転換社債を普通の債券とアメリカン・コール・オプションの組み合わせとして捉えることだ。これに対応して、可転換社債の転換はオプションの権利行使に近似する。配当のない株式を原資産とするアメリカン・コール・オプションは理論上、早期行使されない――第一に、原資産を長期保有するつもりなら、先に資金を銀行に預けて利息を得て、期日に行使したほうがよい；第二に、利確するつもりであっても、ポジションを売却して決済すれば、タイム・バリューを回収できる。これと同様に、合理的な可転換社債の保有者は満期まで転換を選ばず、選択を行う可能性があるのは満期のときだけである。
もちろん、可転換社債の実際の状況はさらに複雑である。まず、アメリカン・オプションの権利行使は、一定額の現金を一定の株式数へと変換するのに対し、可転換社債の転換は、一定の社債枚数を一定の株式数へと変換する。可転換社債の純債券価値は残存期間、市場金利などの一連の要因の影響を受け、額面と厳密に等しいわけではない。したがって、可転換社債に付随するオプションの行使価格は固定の転換価格ではなく、変動値であり、具体的には転換価格×額面／純債券価値である。次に、可転換社債の存続期間中には、下記のような特殊イベントが発生し得る。すなわち、条件付繰上げ（下方修正）、強制償還（強赎）、買戻し（回售）、利払い、正株（普通株）の配当等であり、これらはいずれも可転換社債の価値に影響を与える。
以下では、まず単純なケースから見ていくことにしよう。市場には合理的な投資家が満ちていると仮定し、可転換社債の価格がその価値をちょうど公正に反映しているとする。保有者は転換するか、あるいは保有を継続するかを考えるだけでよい。可転換社債市場での価格の誤りのケースについては、いずれ後で議論する。
0.特殊イベントのない取引日
T日に可転換社債を買い、T日に転換を申告でき、T+1日に普通株を売却できる。T日に普通株を買い、T+1日に普通株を売却できる。したがって、T日に可転換社債を買う権利は、対応する数量の普通株を買うことに劣らない。可転換社債の価値はその転換価値以上である。特殊イベントのない取引日では、可転換社債の保有者は必ず転換せずに保有を継続する。
1.下方修正
下方修正は行使価格を引き下げるため、オプションの内在価値が上昇する。したがって、保有者が下方修正の発生を見込むなら、下方修正の前に転換するべきではない。下方修正の終了後、可転換社債の保有者は、より低い行使価格の新しいオプションを得る。このオプションが下方修正によってもたらされたものなのか、元から存在していたものなのかは、保有者の投資判断には影響しない。保有者は、普通の取引日のロジックに従って引き続き保有する。
2.強制償還（強赎）
強制償還は残存期間を短縮させるため、オプションのタイム・バリューが下がる。しかし、強制償還で失うのはタイム・バリューの一部にすぎず、転換すればタイム・バリューの全てを失う。そう見ると、賢明なやり方はやはり最後の瞬間まで保有してから選択することだ。
しかし実際には、さらに微妙な細部がある――強制償還価格と純債券価値は厳密に等しいわけではない。したがって、強制償還は期間短縮に加えて、未だ行使していない権利側に追加の損益をもたらす。こうした特異なオプションの価値を定量分析するのは難しい；ただし定性的に言えば、強制償還価格が純債券価値より小さいなら、オプションの価値は単に期間が短縮されたときよりもさらに大きく下がり、下がり幅が元のタイム・バリューを上回る可能性すらある。したがって、保有者が今後強制償還が起こると見込み、かつ強制償還価格が純債券価値を明確に下回るなら、彼は強制償還の公告前に転換する。
3.買戻し（回售）
買戻しは可転換社債の保有者にもう一度選択の機会を与えるため、オプション価値を高める。したがって、保有者が買戻しの発生を見込むなら転換しない。買戻しが終われば、もちろん意思決定にはさらに影響しない。
4.利払い（転債付息）
T日が債券保有者の記録日だと仮定する。保有者がT日に転換を申告すれば、T+1日に一定量の普通株を受け取る。T+1日に転換を申告すれば、T+2日に同じ量の普通株に加えて当年の利息を受け取る。普通株をあと1日多く保有すると追加で0.1%-3%の利息が得られると仮定する（具体的な状況による）。これは年換算で28.39%-161822.12%に相当し、常識的な人ならT日に転換することはないと考えられる。同様に、利払いの直前数日前に転換するのは明らかに極めて不合理である；利払い後は通常の取引日のロジックに戻る。
5.正株（普通株）の配当
仮に私たちがオプションについて議論しているなら、普通株の配当はオプションの内在価値を引き下げ、権利側は配当前に行使する可能性がある。しかし可転換社債の配当に関する規定は異なる。配当後は、可転換社債の転換株価も同様に、1株当たりの配当額だけ引き下げられる。
これは可転換社債保有者の利益を保護するが、転換意欲を著しく低下させる。とはいえ、早期転換が完全に不可能というわけではない。
筆者の能力の限界により、以下では普通株の配当前後で可転換社債のオプション価値がどう変わるかは議論せず、配当後の可転換社債オプションの時間価値を仮定して、保有者が配当前に転換するために必要な条件を計算する。
可転換社債の保有者がT日に可転換社債を保有しており、T+1日が転換停止の開始日、T+2日が権利確定日、T+3日が権利落ち日（除権・除配日）であるとする。T日における転換価格をP、普通株価格をQとする。1株当たりの現金配当はX、T+3日における1枚の転換社債の時間価値をU、1枚の可転換社債の純債券価値をVとする。いくつかの取引日のみが関係するため、空売りコスト（ファンディング費用）の率はほぼ無視できる。裁定が存在しない原理に基づき、T+3日以降の株価の数学的期待値はQ-Xである。
保有者がT日に転換するための必要条件は、T日に転換したことで最終的に得られる資産が、T+3日の可転換社債の価値より高いことである。可転換社債の価値＝内在価値＋時間価値＝max{転換価値, 純債券価値}+時間価値。したがって、以下の2つの不等式を立てられる：
(100 / P) * (Q - X) + (100 / P) * X > (100 / (P - X)) * (Q - X) + U
(100 / P) * (Q - X) + (100 / P) * X > V + U
解くと：
((V + U) / 100) * P < Q < (1 - (U * (P - X)) / (100 * X))* P
このようなQが存在するためには、(V + U) / 100 < 1 - (U * (P - X)) / (100 * X) が必要であり、解くとX > (U * P) / (100 - V)。
以上より、保有者が配当前に転換するには、以下の条件を満たす必要があることがわかる。純債券価値が額面より小さいこと、時間価値が非常に小さいこと、配当額が大きいこと、普通株価格が適切であること（転換価格よりわずかに低い）。条件が多く、実際には満たしにくい可能性がある。
効率的市場の議論はひとまずここで終える。実際には、市場が時々間違えることがある。すると可転換社債が「ディスカウント」になり、価格がその転換価値を下回る。このとき合理的な普通株投資家は当然、普通株を売却し、可転換社債を買い、転換を申告して、無リスク裁定を実現すべきだ。
まとめよう。合理的な市場参加者が満期前に転換を行うのは、主に次の3つの状況である：
(a)純債券価値が強制償還価格を上回るときに強制償還を行う；
(b)純債券価値が100元を大きく下回り、普通株の市場価格が転換価格をわずかに下回るときに大口の普通株配当を受ける；
©可転換社債の価格がその転換価値を下回るとき。
最後に、本稿の未尽の点について触れる――転換社債のデフォルト信用リスクの考慮が不足している；転換社債の規模が大きすぎて、既存株主の持分が明らかに希薄化される状況の考慮が不足している；大口資金の取引によるインパクトコストの考慮が不足している；関連行為の税務処理の考慮が不足している；株式が表す議決権と支配権の考慮が不足している等。
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注：筆者は証券取引に参加してから24か月未満であり、上海証券取引所の「可変換社債の適格性管理に関する関連事項についての通知」、深セン証券取引所の「可変換社債投資家の適格性管理を改善する関連事項についての通知」等の、定められた条件を満たしておらず、可変換社債の取引権限を開通しておらず、また実際に可変換社債の取引へ参加したこともない。以上の内容は純粋に理論的な推論によるものであり、誤りがあれば指摘していただき、議論を歓迎する。