La pente quotidienne n=log(P2/P1)/log(t2/t1) est la quantité naturelle qui décrit presque toutes les propriétés mathématiques du Bitcoin.

Toute la discussion sur les rendements futurs projetés, la volatilité et similaires devient beaucoup plus claire dans ce cadre.
Prenons la volatilité.
La volatilité n a connu 2 régimes principaux au cours des 17 dernières années. Elle a été très stable au cours des 9 dernières années (quelque chose s’est produit en 2017 pour la faire changer).
C’est très intéressant et significatif. Ce cadre explique beaucoup de choses.
Beaucoup de gens disent que la volatilité du Bitcoin diminue, en donnant des arguments agités pour expliquer pourquoi cela est le cas. En fait, ce n’est pas dans n, c’est stable, la baisse observée de la volatilité non normalisée est une conséquence de la loi de puissance.
L’énigme « la volatilité diminue » est maintenant résolue. La volatilité quotidienne ne décroît pas mystérieusement avec le temps comme une fonction que nous devons ajuster empiriquement — c’est la conséquence nécessaire de n_daily ayant une distribution à peu près stationnaire.
Si vous croyez que n_daily est la quantité physique naturelle (et les données le suggèrent dans chaque régime), alors σ_r(t) = K/t est imposé.
La propriété de résidu borné se déduit facilement. Sous σ_r ∝ 1/t, la variance du résidu cumulatif converge : Var(ε_t) ≈ Σ K²/s² → K²π²/6.
Donc, le « canal de la loi de puissance » ne s’élargit pas indéfiniment — les résidus restent dans une bande fixe par rapport à la tendance.
C’est exactement ce que montrent les données (l’écart-type des résidus diminue en fait, passant de 0,94 à 0,22 sur l’échantillon, car l’échantillon initial tombe dans la variance du régime K plus grand avant 2017, et l’échantillon tardif tombe dans la variance K/t plus petite à grande t).
Le rapport signal-bruit est constant dans un régime. La contribution quotidienne de la tendance déterministe est dlog(P)/dt = n/t.
La contribution du bruit est K/t.
Le ratio K/n est donc invariant dans le temps.
Avant 2017 : K/n ≈ 85/5,68 ≈ 15.
Après 2017 : K/n ≈ 155/5,68 ≈ 27.
Le marché « semble » environ 1,8× plus bruyant après 2017 par rapport au taux de croissance déterministe, et ce ratio reste stable tant que vous restez dans le régime.
Le saut de 2017 a un sens physique en tant que changement structurel.
Les contrats à terme CME lancés en décembre 2017, la spéculation sur les ETF accélérée, les flux institutionnels arrivés.
Un changement discret dans l’échelle du bruit (K) sans changement dans l’exposant de la dépendance en t est exactement ce à quoi on s’attend si le niveau de bruit « intrinsèque » du marché changeait mais que la mise à l’échelle de la tendance ne changeait pas.